한 호를 원의 둘레 위 임의의 점에서 본 각은 — 어디서 봐도 같다. 그리고 그 각은 중심에서 본 각의 정확히 절반이다. 이 한 쌍의 사실이 가져오는 다섯 개의 따름정리, 그리고 그 안에 숨은 탈레스의 정리를 만난다.
여기서 $P$ 는 호 $\overarc{AB}$ 를 보고 있는 원 위의 임의의 점 (단, 호 $\overarc{AB}$ 자체에는 포함되지 않음).
이 정리에는 두 가지 강력한 결과가 함축되어 있다 — ① 한 호에 대한 원주각은 $P$ 의 위치와 무관, ② 그 크기는 정확히 중심각의 절반.
원주각 정리의 일반 증명은 세 경우 (중심이 원주각 내부 / 외부 / 한 변 위)로 나뉜다. 가장 기본인 한 변이 지름을 따라가는 경우를 증명하면 다른 경우는 두 개의 이 경우로 분해된다.
Case 2 / Case 3 원주각 안에 중심이 있거나, 밖에 있는 경우. 둘 다 P에서 지름을 그어 Case 1 두 개로 분해 → 더하거나 빼서 결과를 얻는다.
원주각 정리 한 줄에서 흘러나오는 다섯 가지 결과. 모두 한 문제 안에서 자유롭게 결합되어 사용된다.
모두 같은 중심각의 절반이므로.
중심각 $= 180°$ (직선) → 원주각 $= 90°$.
호 길이가 같으면 중심각이 같다 (반지름 동일). 따라서 원주각도 같다.
호 $\overarc{AB} : \overarc{CD} = m : n$ 이면 $\angle APB : \angle CQD = m : n$.
이 사실은 다음 차시 "원에 내접하는 사각형"의 핵심.
그리스 일곱 현인 중 한 명. 기록상 최초의 기하학 정리를 발견·증명한 인물.
반원에 내접한 임의의 삼각형 — 세 점 $A, P, B$ 가 모두 원 위에 있고 $\overline{AB}$ 가 지름이면, $\angle APB$ 는 항상 $90°$.
역도 성립: 직각삼각형의 빗변은 항상 외접원의 지름. → 외접원의 중심은 빗변의 중점.
호 $\overarc{AB}$ 의 중심각을 슬라이더로 조절하고, $P$ 의 위치도 조절한다. 중심각의 절반이 되는 원주각이 P의 위치와 무관하게 일정함을 확인하라.
$\angle APB = \tfrac{1}{2}\angle AOB$. 원주각은 중심각의 절반. 호가 결정하면 원주각도 결정.
이등변삼각형의 외각 정리. 반지름이 같다는 사실로부터 직접 따라온다.
반원 위의 점에서 본 지름은 90°. 직각삼각형의 빗변 = 외접원 지름.
한 원에서 호 길이의 비 = 중심각의 비 = 원주각의 비.
다음 단계 — Ⅵ-1.5 원에 내접하는 사각형 원 위에 네 점을 잡아 만든 사각형의 대각의 합은 $180°$. 그 이유는 이번 차시의 원주각 정리에 직접 숨어 있다. 한 차시 안에 모든 점이 연결된다.